LCSD Lesson 1

Chapter I 数字系统与信息#

十进制及其特点#

• 0 - 9 十个符号
• Base: 10
• Power: 10^i

二进制及其特点#

• 0 - 1 两个符号
• Base: 2
• Power: 2^i

十进制和二进制转换#

二进制转十进制：直接乘 Power

十进制转二进制：整数部分整除 2，小数部分连乘 2

其它转换#

十六进制、八进制转十进制：直接乘 Power

十六进制、十进制、八进制和二进制互转：直接按 2 的次数为数字分组即可，转换的时候统一先转换到二进制。

Chapter II 逻辑代数#

逻辑代数的基本概念#

一个由逻辑变量集 K 、常量 0 和 1 以及 或与非 三种基本运算组成的一个封闭系统

$$L = \{K, +, \cdot, -, 0, 1\}$$

常量：0 和 1 表示的假和真

变量：变化的逻辑量

逻辑门介绍#

相关公理#

Axiom 1 交换律

对于任意逻辑变量 A、B，有

$$A + B = B + A \\ A \cdot B = B \cdot A$$

Axiom 2 结合率

对于任意的逻辑变量 A、B、C，有

$$(A + B) + C = A + (B + C) \\ (A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$$

Axiom 3 分配率

对于任意的逻辑变量 A、B、C，有

$$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C \\ A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$$

Axiom 4 0-1 律

对于任意的逻辑变量 A，有

$$A + 0 = A,\ A \cdot 1 = A \\ A + 1 = 1,\ A \cdot 0 = 0$$

这条公理可以用来化简电路

Axiom 5 互补律

对于任意逻辑变量 A，存在唯一的 $\bar{A}$ ，使得

$$\bar{A} + A = 1 \\ \bar{A} \cdot A = 0$$

逻辑运算#

或运算：逻辑加

与运算：逻辑乘

非运算：取反

与非运算：通用逻辑门

$$F = \overline{A \cdot B \cdot C \cdots} \\ F = \overline{\overline{A \cdot B} \cdot 1} = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B \\ F = \overline{\overline{A \cdot 1} \cdot \overline{B \cdot 1}} = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = A + B \\ F = \overline{A \cdot 1} = \bar{A}$$

或非运算：通用逻辑门

复合运算：

• 异或运算

$$F = A \oplus B = \bar{A}B + A\bar{B}$$

​ 异或运算是两变量运算，若需多变量进行异或运算可以如下进行：

$$F = A \oplus B \oplus C \oplus D = (A \oplus B) \oplus (C \oplus D) \\ \mathrm{or}\ F = [(A \oplus B) \oplus C] \oplus D$$

​ 两者不同则为 1，相同则为零

• 同或运算

$$F = A\odot B = \bar{A} \cdot \bar{B}$$

​ 两者相同则为 1，不同则为零

基本定理和规则#

Theorem 1

$$0+0=0\ 1+0=1\ \ \ \ 0·0=0\ 1·0=0 \\ 0+1=1\ 1+1=1\ \ \ \ 0·1=0\ 1·1=1$$

Theorem 2 幂等律

$$A + A = A;\ A \cdot A = A$$

Theorem 3 吸收律

$$A + A \cdot B = A;\ A \cdot (A + B) = A$$